\(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) si et seulement si : $$\operatorname{det}(A-\lambda\operatorname{Id})=0$$
On note \({{P_A(x)}}={{\operatorname{det}(A-x\operatorname{Id})}}\)
(Déterminant, Matrice identité - Matrice unité, Vecteur propre - Valeur propre - Elément propre)
On appelle \(P_A(x)\) le polynôme caractéristique de \(A\)
(Polynôme)
On peut noter $${{\chi_A(X)}}={{\operatorname{det}(XI_n-A)}}$$
Une racine du polynôme caractéristique d'une matrice correspond à une valeur propre de cette matrice
(Vecteur propre - Valeur propre - Elément propre, Racine)
$${{P_A(x)}}={{(-1)^n}}x^n+{{(-1)^{n-1}\operatorname{trace}(A)}}x^{n-1}+\ldots+{{\operatorname{det}(A)}}$$
(Trace, Déterminant)
$$\begin{align}&\deg({{P_A}})={{\operatorname{dim} E}}\\ \longrightarrow&\text{ maximum de valeurs propres distinctes }\end{align}$$
(Degré, Dimension)
Soit \(A\) une matrice de format \(n\times n\) et \(P\) une matrice inversible
Si \(\hat A=P^{-1}AP\), alors $$P_{\hat A}={{P_A}}$$
Matrice de Van der Monde (Exercices)